L’I Ching e l’aritmetica binaria di Leibniz

JOSEPH NEEDHAM

La nostra comune aritmetica ha per base 10, e l’aggiunta di uno zero all’ultima posizione intera moltiplica il numero per 10. Ma quest’uso è puramente arbitrario.

L’aritmetica avrebbe potuto avere per base il 12, nel qual caso le divisioni per tre o per quattro non avrebbero comportato frazioni di numeri interi. Alcune proprietà dei numeri sono fondamentali in ogni sistema, mentre altre dipendono dalla base arbitrariamente scelta. Per esempio, il fatto che, sommando insieme numeri dispari, si abbia la serie dei quadrati, si verificherebbe comunque, indipendentemente dalla base scelta. Ma che tutti i multipli di 9 siano cifre che, una volta sommate, danno 9 non è una proprietà fondamentale e deriva semplicemente dal fatto che il 9 è il penultimo numero nella serie di base arbitrariamente scelta. A Leibniz venne in mente che sarebbe stata possibile e forse anche utile un’aritmetica avente come base il 2; in quest’aritmetica “binaria” o “diadica”, uno zero aggiunto a qualsiasi numero avrebbe avuto la proprietà di moltiplicarlo soltanto per 2, proprio come nella comune aritmetica lo moltiplica per 10.
I numeri verrebbero pertanto rappresentati nel modo seguente:
1=1; 2=10; 3=11; 4=100; 5=101; 6=110; 7=111; 8=1000; 9=1001; 10=1010; 11=1011; 12=1100; 13=1101; 14=1110; 15=1111; …
La prima descrizione di questo sistema apparve nel 1703, in un saggio dal titolo Explication de l’Arithmétique Binaire. Ma il sottotitolo prosegue così: “…qui se sert des seuls caracteres 0 e 1, avec des remarques sur son utilité et sur ce qu’elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy [Fu Xi]”. […] Era avvenuto che Leibniz s’era messo in contatto con un missionario gesuita in Cina, Joachim Bouvet, il quale era particolarmente interessato al Libro dei Mutamenti, e col quale Leibniz intrattenne una lunga corrispondenza, dal dal 1697 al 1702. La scoperta che gli esagrammi dell’I Ching potevano essere interpretati come un’altra maniera di scrivere numeri secondo il sistema binario, se si fossero prese le linee continue (Yang yao) per rappresentare l’1, e le linee spezzate (Yin yao) per rappresentare lo 0, pare sia stata inizialmente un’idea di Bouvet piuttosto che di Leibniz. Bouvet aveva attirato l’attenzione di Leibniz sul Libro dei Mutamenti nel 1698, ma fu solo nell’aprile del 1701, quando Leibniz gli mandò la tavola dei suoi numeri binari, che l’identità con gli esagrammi fu realmente compresa, e nel novembre dello stesso anno Bouvet spedì a Leibniz due completi diagrammi delle serie. Uno di questi era la “tavola di separazione” […], l’altra una combinazione formata da un quadrato e da un circolo.

[…] Non senza ragione, Leibniz si stupì di trovare la sua numerazione binaria impiegata per una serie di numerali da 63 a 0 negli esagrammi del Libro dei Mutamenti, che ai suoi tempi si riteneva unanimemente risalissero per lo meno al -II millennio. Egli continuò a dissertare per il resto della sua vita sulla scoperta che aveva effettuato congiuntamente a Bouvet, come si può vedere, ad esempio, alla fine di una sua lunga lettera del 1716 sulla filosofia cinese, nella quale la sezione quarta è intitolata “Des Caractères dont Fohi [Fu Xi], Fondateur de l’Empire Chinois, s’est servi dans ses Ecrits, et de l’Arithmétique Binaire”; la scoperta continuò a suscitare interesse nel XVIII secolo, come attesta la pubblicazione fattane da Haupt nel 1753.
Ma il punto di reale interesse per la storia della Scienza, è vedere il significato, se ve n’è uno, che riveste questa vicenda. “Il fatto che due menti speculative, – scrive H. Wilhelm – a distanza di sei secoli e mezzo, a estremi opposti della Terra, e partendo da basi completamente differenti, siano potute pervenire allo stesso schema ordinativo è veramente sorprendente. Non si può fare a meno di pensare che la coincidenza non fu accidentale e che entrambi i sistemi poggiano in qualche modo sulla stessa base naturale”. Waley, che a quel tempo (1921) credeva che gli esagrammi risalissero a un’antichità molto remota, avanzò l’idea che la scoperta di Leibniz implicasse una certa qual conoscenza, da parte dei Cinesi, dello zero e del valore posizionale assai prima del -1000. Nonostante le critiche di Pelliot, Olsvanger (che continua ad accogliere impossibili datazioni leggendarie), resta del parere, nella sua riscoperta, a quanto pare indipendente, dell’aritmetica binaria degli esagrammi, che essi racchiudano il concetto del valore di posizione e dello zero.
Tali proposte dovrebbero naturalmente essere scartate. Gli uomini che inventarono gli esagrammi si preoccuparono semplicemente di formare tutte le permutazioni e combinazioni possibili da due elementi di base, le asticciole lunghe e quelle corte. Una volta formate queste, era ovvio che apparissero possibili parecchie combinazioni ugualmente logiche, e infatti due di esse giunsero ad acquisire grande rilevanza, benché altre ve ne fossero che si sarebbero potute escogitare senza alcuna difficoltà. Il principale difetto che inerisce all’attribuzione di significati matematici agli esagrammi sta nel fatto che niente esulava maggiormente dal pensiero degli antichi esperti dell’I Ching di un qualsiasi tipo di calcolo quantitativo, come ha esaurientemente dimostrato Granet. Si potrebbe pensare che i divinatori, in quanto lavoravano sulle “mutazioni” degli esagrammi, sostituendo linee spezzate a linee intere e viceversa, eseguissero semplici operazioni di aritmetica binaria, sennonché essi di certo le eseguirono senza comprenderle. Indubbiamente si deve pretendere che ogni invenzione, sia essa matematica o meccanica, venga fatta coscientemente e si prefigga un obiettivo utile. Quindi, se gli indovini dell’I Ching non erano consapevoli dell’aritmetica binaria e non ne fecero alcun uso, la scoperta di Leibniz e Bouvet starebbe solo a significare che il sistema di ordine astratto incorporato nella versione che Shao Yong diede dell’I Ching coincide casualmente col sistema di ordine astratto inerente all’aritmetica binaria. E non ci deve trattenere la convinzione espressa da Leibniz e da Bouvet che Dio avrebbe ispirato Fu Xi a collocarlo proprio là. Recentemente Barde ha avanzato un’ipotesi più plausibile. Egli ritiene che le linee dei qua fossero connesse non tanto con le asticciole lunghe e corte usate per la divinazione, quanto con le bacchette da calcolo che i Cinesi certamente usavano sin da epoca remota. I simboli sarebbero pertanto derivati dai procedimenti connessi con l’uso di una aritmetica in base 5, nella quale le linee incerte o spezzate sarebbero state bacchette con valore 1, mentre le linee forti o intere sarebbero state bacchette con valore 5. Che aritmetiche in base 5 siano esistite presso popoli primitivi è un fatto ben noto agli antropologi.
Potrebbe non essere privo di significato il fatto che i primi cinque numerali cinesi siano, e siano stati, di forma somigliante a bacchette; mentre nei numerali romani vi è una chiara sopravvivenza dell’aritmetica in base 5, dal momento che 6 è 51, 7 è 52, ecc. Una forma antica di moltiplicazione, prima della costruzione della tavola di moltiplicazione in base 10, avrebbe avuto bisogno della memorizzazione di certi numeri: 25 (la somma dei primi cinque numeri dispari), 144 (i primi sei numeri dispari, ciascuno moltiplicato per quattro), e 216 (i primi sei numeri dispari ciascuno moltiplicato per cinque). Questi sono precisamente i numeri che risaltano maggiormente nella Grande Appendice dell’I Ching. Se siamo sulla pista giusta, i simboli magico divinatori avrebbero potuto essere una degenerazione di una forma molto antica di aritmetica. Ne discende come corollario che gli esagrammi sarebbero stati un prodotto della fase iniziale e i trigrammi un prodotto successivo del pensiero analitico; Barde ha radunato testimonianze sinologiche a dimostrazione del fatto che le cose stavano esattamente così.

(Tratto da Joseph Needham, “Scienza e civiltà in Cina”)

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